Все о космосе

Космос. Астрономия. Вселенная. Наука

Leaf
Главная
Новости
FAQ по Астрономии
Астрословарь
Древняя астрономия
Современные теории
Метагалактика
Солнечная система
Статьи о космосе
Космонавтика
Галерея астрофото
Популярно о космосе
Карта сайта
Поиск
Обратная связь
Партнеры

Астрономия


Leaf Главная arrow Новости arrow Статьи о космосе arrow Исчисление конечных разностей



Исчисление конечных разностей PDF Напечатать Е-мейл

Функцию часто представляют при помощи аналитического выражения через одну или более независимых переменных, о которых можно предположить, что они непрерывным образом изменяются в некотором интервале численных значений (бесконечном или конечном). Такая формула явным образом предписывает систему математических операций над этими переменными, при помощи которых эта функция определяется для любых частных значений переменных. Исчисление бесконечно малых занимается дифференцированием и интегрированием такого рода выражений. Другой формой задания функций является табличная форма, в которой численные значения функции заданы для некоторых определенных значений независимой переменной (или переменных). Значения независимой переменной, если имеется только одна, обычно записываются н столбец, и рядом с каждым из них располагается соответствующее значение этой функции. Такое наглядное представление называется таблицей. Независимая переменная называется аргументом. Аргумент обычно, но не всегда задается на равных интервалах; разность между двумя последовательными аргументами, взятая независимо от знака, называется табличным интервалом, интервалом аргумента или просто интервалом. Когда имеются две независимые переменные, то значения одной из них (называемой вертикальным аргументом) можно написать вдоль левого поля страницы, а другой (горизонтального аргумента) — поперек страницы вверху: тогда значения функции образуют прямоугольную таблицу, известную под названием таблицы с двумя входами. Таблицы с одной независимой переменной называются таблицами с одним входом.

Третьей формой, в которой можно представить функцию, является графическая, при которой в противоположность табличной форме представление является непрерывным. Однако эта форма мало применяется в небесной механике, так как она не обеспечивает большую точность.

Табличная форма функции может быть предпочтена аналитической в силу ряда причин. Созданы таблицы логарифмов и тригонометриче-ких функций, экономящие время, так как вычисление отдельных значений при помощи подстановки чисел в бесконечные ряды является слишком трудоемким делом для вычислителя. Эфемериды Солнца, Луны и планет табулируются в ежегодных выпусках «American Ephemeris» и в аналогичных публикациях, так как их вычисление по выражениям, образующим основу этих эфемерид, невыполнимо для большинства лиц, нуждающихся в этих данных. В качестве третьего примера мы имеем таблицы, представляющие численные решения дифференциальных уравнений, полученные непосредственно численными методами, т. е. без первоначального выражения решения в аналитической форме.

Общераспространенные таблицы логарифмов и тригонометрических функций снабжены настолько малым табличным интервалом, что интерполирование выполняется очень легко; этот процесс известен как линейное интерполирование. Такая подробная табуляция не всегда осуществима даже для часто используемых таблиц, и поэтому необходимо иметь более общие методы интерполирования, чем линейный метод, применимые в тех случаях, когда линейное интерполирование привело-бы к неточным результатам. Полезно также уметь дифференцировать и интегрировать функции, выраженные в табличной форме, особенна интегрировать такие функции, которые нельзя проинтегрировать аналитически или для которых аналитическое разложение потребовало бы много труда. Эти три операции — интерполирование, численное дифференцирование и численное интегрирование — составляют исчисление конечных разностей.

Преимущество аналитических методов заключается в том, что только они могут привести к совершенно общим результатам, т. е. к результатам, о которых известно, что они справедливы для всех значений независимых переменных. Преимущество численных методов состоит в том, что они всегда применимы. К тому же численные методы часто менее трудоемки и меньше подвержены ошибкам, чем аналитические методы, и способны дать одинаково высокую точность. Кроме того, небесная механика, подобно любой другой отрасли прикладной математики, стремится к практическим приложениям. Здесь всегда необходимы численные результаты, и для большинства практических приложений промежуточные аналитические выкладки являются совершенно излишними.

<Предыдущая   След.>