Нестандартные базы в Гильбертовом пространстве

Со времен открытия Рене Декартом методу координат понятия базы (координатного репера) стало одной из фундаментальных концепций геометрии, алгебры, анализа. Оно лежит в основиалгебри и линейного функциональногоанализу. Перечень фамилий выдающихся ученых, которые занимались этими дослўдженнями(Ю.Шаудер, С.Банах, Н.Бари, И.Гельфанд, М.Крейн, М.Фаге но др.) свидетельствует о большом весе теории баз, в частности, уфункциональних пространствах.

С возникновением нестандартного анализа (вторая половина ХХ столетия) в теории баз возникли новые проблемы, исследование которых является природнею необходимостью. К таким проблемам принадлежит, например, определение эквивалентности баз в нестандартном универсуме, определение колостандартности базы и ее тени, получения признаков колостан дартности и тени вектора в терминах его координат относительно нестандартной базы, а такожйого тени. При этом важно было включить в круг исследований неограниченные операторы, а также базы из подпространств

Именно ответам на этих и некоторые другие естественные вопросы, например изучению взаимозвъязкив между базами разных типов, в частности, баз Рисса, Баре, посвящена эта работа.

Связь работы с научными программами, планами, темами. Тематика диссертационной работы связана с научно исследовательскими работами кафедры математического и функци онального анализа Львовского национального университетуим. И.Франка «Некоторые проблемы теории несамоспряжених операторов и нестандартный анализ» (шифр МА 400 Д) та»властивости операторов в гильбертових пространствах » (шифр МА 378б).

Цель и задачи исследования:

Целью диссертации является исследование нестандартных аспектов теории баз. В частности:

— ввести природне понятие колостандартности для базы и оперируя им, найти формулу тени и критерий сильноиколостандартности вектора в гильбертовому пространстве из колостан дартной векторной базой;

— осмыслить с точки зрения нестандартного анализа известны результаты М.Г.Крейна, которые касаются баз, квадратичноблизьких к ортонормированной;

— исследовать поведение базы Рисса при неоконченно малом возмущении;

— исследовать диагональные операторы, собственными векторами которых являются элементы колостандарт ной базы Рисса.

— исследовать подобные вопросы для нестандартных баз из подпространств.

Научная новизна полученных результатов. В диссертации впервые рассмотрены элементы теории баз в гильбертовому просториз точки зрения нестандартного анализа. Исследуются свойства нововведенного класса баз колостандартних баз Рисса, и в гильбертовому пространстве с такой базой установлен критерий сильной колостандартности вектора, а и кожзнайдено формулу тени вектора и оператора. Получено результаты обобщенно на случай баз из подпространств, атакож применено при исследовании нестандартных свойств диагонального оператора. Нестандартный анализ дал змогузамисть понятие квадратично близких баз, которое существует в классической теории, ввести понятие квадратично конечно иквадратично неоконченно близких баз и получить дополнение к результатам М.Крейна, которые касаются необходимых идостатних условий, за которыми последовательность векторов является базой гильбертового пространства, квадратично близкой к йогоортонормованой базе.

Практическое значение полученных результатов. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение. Одержанирезультати могут найти применение в теории операто ров в гильбертовому пространстве, а также вдослидженнях, в которых применяется нестандарт ной анализ (математическая физика, стохастический анализ).

Личный взнос добытчика. В труде В.Е.Лянце принадлежит предыдущее формулюван ня ожидаемых результативдослиджень. Окончательная формулировка результатов и их фак тична реализация принадлежит автору диссертации.

Апробация результатов диссертации. Результаты работы докладывались на Львовском межвузовском семинаре зфункционального анализа (кер. проф. Лянце )В.Е., на Львов скому региональном семинаре по математическому анализу(кер. проф. Шеремета )М.М. на международной научной конференции «Современные проблемы механики и математики», присвя чений 70 вещью Я.С.Пидстригача (Львов, май 24 26, 1998), на международной научной конференции, присвяченийю.п.шаудеру (Львов, август 23 29, 1999).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти трудах, из которых четыре напечатано в изданиях зперелику, утвержденного ВАКК Украины.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все о космосе
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: