Вычисления движения небесного тела

Метод численного интегрирования является самым мощным методом, известным в небесной механике, для вычисления движения любого тела в солнечной системе на несколько обращений вокруг центрального тела со всей точностью, требуемой современными наблюдениями. Опыт показывает, что для определения орбиты на большое число обращений небесного тела более эффективными, вероятно, являются аналитические методы, за исключением случаев орбит с большими эксцентриситетами, для которых трудность применения аналитических методов прогрессивно растет с величиной эксцентриситета. Поэтому численные методы применяются для большинства комет и многих малых планет, тогда как аналитические методы применяются к восьми большим планетам, к Луне и большинству остальных спутников, а кроме того, к ряду малых планет. Долго ли сохранится такое положение вещей, предсказать нельзя. Недавние успехи в вычислениях с перфокартами и ведущиеся теперь опыты с электронными машинами сделают, конечно, как численные, так и аналитические методы гораздо более эффективными, чем они были в прошлом. Пока еще не известно, получит ли один из методов преимущество за счет другого, однако несомненно, что специалист по практической небесной механике всегда извлечет пользу, применяя разумное сочетание численного и аналитического методов.

В этой главе подробно рассматриваются два наиболее распространенных метода численного интегрирования уравнений движения—методы Коуэлла и Энке. Эти методы обязаны своей известностью частично широкому распространению счетных машин, частично наличию прямоугольных координат семи больших планет до 1980 г., которые опубликованы в удобном виде вместе со вспомогательными таблицами институтом British Nautical Almanac Office; без этих двух пособий оба метода, по-видимому, были бы менее эффективны, чем остальные.

В методе Коуэлла коническое сечение как первое приближение к орбите явно не используется. Уравнения движения в прямоугольных координатах интегрируются непосредственно, давая прямоугольные координаты возмущаемого тела. Этот процесс сходен с процессом, примененным в гл. IV, с той лишь разницей, что необходимы три координаты вместо двух и на каждом шаге интегрирования возмущающие ускорения от планет прибавляются к притяжению Солнца. Начало координат обычно выбирают в центральном теле, но это ограничение не является обязательным, и для этой цели можно использовать центр масс системы или любого возмущающего тела. Единственное ограничение состоит в том, что предполагаются уже известными движения относительно выбранного начала координат всех тел, оказывающих ощутимое влияние. Поскольку в качестве первого приближения не используется коническое сечение, этот метод применим к движению тел в таких системах, в которых доминирует не одна масса, как, например, к движению спутника двойной звезды. Единственным практическим неудобством этого метода является то, что получаемые интегрированием координаты содержат много значащих цифр и быстро меняются со временем. В силу этого обстоятельства таблицы интегрирования сходятся медленно, что заставляет применять малый табличный интервал.

В методе Энке координаты не получаются непосредственно, а вместо этого интегрирование дает разности между действительными координатами и координатами в оскулирующей орбите, т. е. тем положением, в котором находилось бы тело, если бы оно продолжало двигаться по коническому сечению, соответствующему координатам и компонентам скорости в определенный момент времени, называемый эпохой оскуляции. Отклонения от этой оскулирующей орбиты называются возмущениями. Они обращаются в нуль в эпоху оскуляции. Преимущество этого метода заключается в том, что для моментов, лежащих вблизи эпохи оскуляции, возмущения малы; их можно выразить несколькими значащими цифрами, что допускает использование большего, табличного интервала, чем при употреблении метода Коуэлла. Недостаток метода Энке состоит в том, что с течением времени возмущения возрастают до значительной величины, из-за чего время от времени требуется исправление орбиты. Координаты и скорости определяются на новую эпоху, и интегрирование начинается снова. По-видимому, можно было бы избежать этой трудности, принимая в качестве первого приближения коническое сечение, которое апроксимирует действительное движение на большем интервале времени, чем оскулирующая орбита, но обычно это не практикуется из-за отсутствия достаточной информации.

Методом, который много применялся в XIX столетии и не утратил своей ценности до настоящего вромени, является метод вариации элементов. В этом методе величинами, получающимися при интегрировании, являются шесть оскулирующнх элементов. Они меняются относительно медленно, что означает возможность применения довольно большого табличного интервала, однако дифференциальные уравнения более сложны по форме, чем уравнения в прямоугольных координатах.

Вероятно, самым изящным по замыслу методом является метод Ганзена. Ганзен исходит из оскулирующего эллипса, как и Энке, но вместо возмущений прямоугольных координат интегрирует возмущения трех других параметров. Основное возмущение — возмущение средней аномалии — определяется двойным интегралом. Это возмущение прибавляется к средней аномалии в эллипсе, оскулирующем в фундаментальную эпоху, и результат вместе с остальными оскулирующими элементами используется для вычисления долготы, широты и радиуса-вектора. Долгота, полученная таким образом, является истинной долготой, а радиус-вектор и широта нуждаются в небольших поправках, определяемых интегрированием двух уравнений первого порядка. Таким образом, на первый взгляд кажется, что полное решение содержит лишь четыре постоянных интегрирования, однако, строго говоря, это не так. Полное решение включает в себя три другие переменные, которые тесно связаны с возмущениями наклонности и узла оскулирую-щего эллипса, но они гораздо меньше по величине и становятся ощутимыми только после многих обращений возмущаемого тела. Преимущество этого метода состоит в том, что обычно можно пренебречь тремя последними величинами (однако в том случае, если этого сделать нельзя, их можно очень просто вычислить) и что возмущения трех остальных параметров имеют меньшую величину, чем в любом другом известном методе. Неудобство этого метода заключается в необходимости использования нескольких величин, для которых не существует широко распространенных таблиц (таких, как, например, таблицы прямоугольных координат возмущающих планет), в связи с чем требуется выполнение ряда довольно трудоемких преобразований. Метод Ганзена никогда не находил широкого применения, но, вероятно, после создания специальных таблиц, облегчающих эти преобразования, он мог бы быть весьма эффективным.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все о космосе
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: