Интегрирование уравнения Гамильтона-Якоби

Вообще говоря, интегрирование нелинейных уравнений с частными производными первого порядка представляет очень трудную и сложную задачу. Поэтому интегрировать уравнение Гамильтона-Якоби почти никогда не удается. Только в некоторых наиболее простых случаях оказывается возможным получить полный интеграл каким-нибудь искусственным способом. Эти случаи в небесной механике немногочисленны, и характерно то, что эти же случаи могут быть исследованы и непосредственно, не прибегая к помощи теоремы Гамильтона-Якоби. Неизвестно пока ни одного случая, который допускал бы разрешение только этим методом, так что эффективность его весьма невелика. Однако с теоретической стороны он представляет большой интерес, и не исключена возможность, что в будущем метод Гамильтона-Якоби позволит решать такие задачи, которые не поддаются разрешению никакими другими методами.

Уравнением Гамильтона-Якоби занимались многие видные математики, но результаты их многочисленных исследований довольно незначительны. Удалось только найти некоторые случаи, в которых уравнение Гамильтона-Якоби разрешается в квадратурах, но, к сожалению, громадное большинство задач динамики к этим случаям не подходит.

Лиувилль первый указал случай, когда уравнение Гамильтона-Якоби интегрируется в квадратурах. Затем более общий случай указал Штек-кель, и позднейшие исследования были посвящены различным обобщениям результатов Штеккеля и Лиувилля. В 1911 г. Бургатти поставил общую задачу — найти все случаи, в которых уравнение Гамильтона-Якоби интегрируется в квадратурах. Его анализ привел к довольно общей форме уравнения, из которой все предыдущие получаются как частные случаи.

Мы рассмотрим последовательно случай интегрируемости Лиувилля, затем проф. Н. Д. Моисеева, случай Штеккеля и в заключение приведем вкратце соображения Бургатти.

Понравилась статья? Поделиться с друзьями:
Все о космосе
Добавить комментарий

;-) :| :x :twisted: :smile: :shock: :sad: :roll: :razz: :oops: :o :mrgreen: :lol: :idea: :grin: :evil: :cry: :cool: :arrow: :???: :?: :!: